Nejednakosti u prometu

18.05.2026

~ 7 min.

14

PROMET:

MATEMATIKA:

RAČUNARSTVO:

Primjena nejednakosti u rješavanju prometnih problema.

U ovoj temi sam diskutirao da je malo toga u prometu linearno, ali nam matematika pomaže „linearizirati“ probleme do granice prihvatljive (potrebne) inženjerske preciznosti. Još manje od toga je u prometu nešto jednako. Puno stvari možemo definirati kao podjednake – sukladne – kongruentne, približne, slične, analogne, …, ali jako rijetko možemo reći da su jednake. To je i logično, jer uvijek nešto poboljšavamo (optimiziramo) pa želimo brže, kraće, sigurnije, … . I tu nam matematika opet može pomoći.

Hrvatska ima svjetski uglednog znanstvenika, akademika Josipa Pečarića, čija knjižica Nejednakosti sadrži pravo „blago“ nejednakosti. Ne znam zašto se naziva knjižica (osim po formatu) jer ima 180 stranica, od kojih svaka vrijedi barem tri stranice neke druge stručne tiskovine. Vjerujte mi, sadržaj knjižice barem desetak puta premašuje njezinu cijenu od desetak EUR. Koristiti ću dvije nejednakosti uz još jednu koju sam prije opisao – Čebiševljevu nejednakost.

Ponovit ćemo Čebiševljevu nejednakost. Prosječno putujemo na dionici 30 minuta uz standardnu devijaciju 3 minute. Želimo znati vjerojatnost da ćemo putovati duže od 40 minuta. Čebiševljeva nejednakost vrijedi za bilo koju razdiobu, a ne samo za normalnu pa se koristi slovo $k$ kao mjera broja standardnih odstupanja od srednje vrijednosti. U normalnoj razdiobi ta mjera se naziva z-vrijednost. Primjernom Čebiševljeve nejednakosti dobivamo:

$k = \dfrac{|40 - 30|}{3} = \dfrac{10}{3} = 3,33\dot{3}$

$P(|40-30|) \geq 10) \leq \dfrac{1}{(10/3)^2} = \drac{9}{100} = 0,09$

odnosno vjerojatnost da će vrijeme putovanja odstupati od prosjeka za više od 10 minuta iznosi maksimalno 9 %, ili možemo biti sigurni da ćemo u 91 % slučajeva putovati kraće od 40 minuta. Isto vrijedi i u drugom smjeru; imamo samo 9 % vjerojatnosti da će putovanje biti kraće od 20 minuta. Uvijek je važno naglasiti da nejednakost ne vrijedi za $k < 1$ . Budući se u prometu uvijek gleda pojava na jednu stranu, bolje (uputnije) bi bilo koristiti Cantellijevu nejednakost, ali neću komplicirati.

Sljedeće dvije nejednakosti ću copy-paste iz knjižice (za mene knjižurine) akademika Pečarića.

Jensenova nejednakost u inženjerstvu je nezaobilazna kod analize konveksnih funkcija, a takvih u prometnom inženjerstvu ima pregršt. Dvije takve možete naći ovdje i još jednu ovdje. U prometu sve vezano za putovanje (vrijeme, kašnjenje, troškovi, …) raste puno brže od rasta prometne potražnje (zagušenja) pa ima konveksan oblik:

$f(\mathbb{E}[X]) \leq \mathbb{E}[f(X)]$

Plava krivulja konveksnog oblika pokazuje neki prometni proces; npr. više vozila uzrokuje eksponencijalno produljenje vremena putovanja. Zelena točka na krivulji pokazuje vrijednost koju izračuna inženjer temeljem postavljenog modela. Crvena točka je stvarno prosječno kašnjenje koje vozači doživljavaju u realnoj prometnoj situaciji zbog stalnih oscilacija prometne potražnje.

Što nam to Jensenova nejednakost tako spektakularno govori? Ono što znamo od prvog predavanja na Fakultetu, nestabilan prometni tok s puno oscilacija uvijek generira veće ukupne gubitke od stabilnog toka koji ima isti broj vozila – homogenu prometnu potražnju. Nešto što znamo lijepo (iz)reći – i ništa više, Jensenova nejednakost nam omogućuje izračunati – transformira nas iz kritičara („stručnjaka“) u analitičara (inženjera/ku).

Od mnogih nejednakosti, Pečarićeva knjižica sadrži i Cauchy-Schwazovu nejednakost:

$\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^n b_i^2 \right)$

Ako prometni sustav promatramo kroz $n$ veličina (pojavnosti), onda nam lijeva strana govori o učinkovitosti (učinku) cijelog sustava, koliko sustav učinkovito radi u interakciji svih čimbenika. Desna strana govori o maksimalno raspoloživim resursima sustava – što se može najviše (maksimalno) dobiti kod usklađenog (harmoniziranog) prometnog rješenja. I s inženjerskog motrišta nejednakost je logična: rad cijelog sustava može biti ili slabiji ili u najboljem slučaju jednak maksimalno mogućem (najboljem) stanju. Jednakost se postiže kada su nizovi $a$ i $b$ proporcionalni.

Najlakše ilustrirati primjerom. Uspoređujemo dvije dionice kroz broj vozila $(q_1, q_2)$ i vrijeme putovanja $(t_1, t_2)$ , pri čemu je $q_1 = 100 \text{ vozila }$ i $t_1 = 10 \text{ minuta }$ i $q_2 = 400 \text{ vozila }$ i $t_2 = 40 \text{ minuta }$ i nejednakost nam kaže:

$(q_1t_1 + q_2t_2)^2 \leq (q_1^2 + q_2^2) \cdot (t_1^2 + t_2^2)$

Lijeva strana: $(100 \cdot 10 + 400 \cdot 40)^2 = 289.000.000$ . Desna strana: $(100^2 + 400^2) + (10^2 + 40^2) = 289.000.000$ . Imamo jednakost i sustav je u korisničkom uravnoteženju (user equilibrium). Ostvarili smo korisničko uravnoteženje jer su omjeri prometnih tokova i vremena putovanja jednaki. Stvarnost je drugačija. Više vozila na dionici 2 znači i disproporcionalno dulje vrijeme putovanja od 60 minuta pa je nejednakost $625.000.000 < 629.000.000$ .

Živimo u realnom svijetu nejednakosti pa Cauchy-Schwazovu nejednakost koristimo u definiciji koeficijenta usklađenosti (sinkronizacije, zagušenosti) mreže:

$\rho = \frac{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right)^2}{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^n b_i^2 \right)}\\$

Ako $\rho$ teži prema 1 govorimo o stabilnim i predvidljivim uvjetima. U suprotnom, kada $\rho$ teži prema 0 onda negdje imamo problem – incident. Ako se vratimo našem primjeru i imamo $\rho > 0,90$ , onda govorimo o stabilnom radu sustava. Ako sljedeće mjerenje pokaže $\rho = 0,70$ , nešto se dogodilo što nije uzrokovano količinom prometa, zastoj čiji uzrok treba hitno identificirati.

Sve tri nejednakosti možemo povezati u cjelinu prometne analize:

Čebiševljeva: koliko često se događaju “ekstremi” (rizik),
Jensenova: zašto varijacije povećavaju kašnjenje (nelinearnost),
Cauchy-Schwarzova: kako povezati i optimizirati različite podatke i tokovi u mreži (struktura)

Pokazat ću jedan teoretski primjer, ali vrlo moguć i primjenjiv u realnom inženjerskom životu. Danas su tuneli opremljeni svime i svačime (u pozitivnom smislu) i sva sila senzorike prepoznaje lokalni problem, što obično nazivamo Incident Management, ali kako to utječe na cijeli sustav – cijeli tunel, pomažu i kažu nam algoritmi, od kojih je vrlo učinkovit s nejednakostima. Jednostavan je, logičan, jasan robustan, brz, razumljiv, sljedljiv – gotovo pa savršen za problematiku praćenja dinamike prometa u tunelu.

Tunel je jednosmjeran s dvije trake, s ulaznim podatcima:

lijeva pretjecajna traka q1 = 10 voz/min i t1 = 0,8 min,
desna vozna traka q2 = 20 voz/min i t2 = 1,0 min,
prosjek prestrojavanja $\mu$ = 4 s, $\sigma$ = 0,5 s,
propusna moć traka: C = 25 voz/min.

Korak 1: Harmoniziranost prometnog procesa tunela (Cauchy-Schwazova nejednakost)
$\rho = \frac{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right)^2}{\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^n b_i^2 \right)} = \dfrac{784}{820 } = 0,956.\\$

Korak 2: Efikasnost tunela (Jensenova nejednakost)
Pretpostavljamo funkciju troška korištenja prometnih traka: $f(q) = q^2$ . Stvarni trošak zbog nejednolikog korištenja prometnih traka u tunelu (vozna traka je opterećenija, a pretjecajna uvijek ima manje vozila):
$\mathbb{E}[f(X)] = \dfrac{(10^2 + 20^2)}{2}=250$
$\mathbb{E}[X] = \dfrac{(10+20)}{2}=15 \rightarrow f(\mathbb{E}[X]) = 15^2 = 225$
Zbog nejednake opterećenosti traka gubimo 11,1 % teoretske učinkovitosti tunela.

Korak 3: Sigurnost u tunelu (Čebiševljeva nejednakost)
Tražimo vjerojatnost da će netko izvesti opasno prestrojavanje; kraće od 2,5 s.
$k = \dfrac{|4 - 2,5|}{0,5} = 3$
$P(|4 - 2,5|) \gex 3 \cdot 0,5 ) \leq \dfrac{1}{3^2} = 0,111$
Maksimalno 11.1 % svih prestrojavanja u tunelu je opasno.

Korak 4: Vjerojatnost zagušenja tunela (Poissonova razdioba)
Kod malog i umjerenog prometa vozila u tunel ulaze neovisno jedno o drugome, pri manjim gustoćama održavaju željenu brzinu (ne ovise o vozilu ispred sebe) pa je Poissonova razdioba prihvatljiva za opisivanje pojave vozila u tunelu. Vjerojatnost da će u desnoj traci doći do zagušenja (C = 25 voz/min) u početnim uvjetima $q_2 = \lambda = 20 \text{ voz/min }$ :
$P(X > C) = 1 - P(X \leq C).$
Koristim Excel funkciju =1 – POISSON.DIST(25;20;TRUE) = 0,11218 –> 11,2 %.

Zaključak: Stanje tunela
Stanje: stabilno: $\rho = 0,956$ .
Efikasnost: dobra; manji gubitak nuždan za funkciju pretjecajne trake.
Rizik: 11,1 % vjerojatnosti za opasno prestrojavanje (pretjecanje) i 11,2 % vjerojatnost da u sljedećoj minuti u desnoj traci dođe do zagušenja.

Akcija: rizici opasnog prestrojavanja i zagušenja su mali, ali podjednaki pa bi promjenjivom prometnom signalizacijom trebalo upozoriti vozače na održavanje razmaka u vožnji kako bi se smanjila standardna devijacija ( $\sigma$ ) prestrojavanja, a time i smanjila vjerojatnost incidenta, što pak povlači održavanje dobre protočnosti.

Nejednakosti mogu biti korisne i u planerskim zadaćama. Primjer iz parkirne politike. Ulično parkiranje ima cijenu 1,50 EUR/h i popunjenost 98 %, a garaže s cijenom od 3,00 EUR/h imaju popunjenost 75 %. Sustav je pod pritiskom na kapacitete uličnog parkiranja.

Korak 1: Usklađenost sustava (Cauchy-Schwarzova nejednakost)
Lijeva strana: $((0.98 \cdot 1.50 + 0.75 \cdot 3.00)^2 = 13,84$
Desna strana: $(0,98^2 + 0,75^2) \cdot (1,50^2 + 3,00^2) = 17,13$
Indeks usklađenosti $\rho = 0,81$ . Sustav je dobar, ali postoji mogućnost poboljšanja kroz uravnoteženje potražnje uličnog i garažnog parkiranja.

Korak 2: Uravnoteženje cijena
Donesena je odluka o jednakim cijenama parkiranja: 2,20 EUR/h u oba režima parkiranja.

Korak 3: Procjena efikasnosti rješenja
Nakon novih tarifa ulično parkiranje je popunjeno 88 %, a garažno je poraslo na 85 %.
Indeks usklađenosti $\rho$ se povećao na 1,00. Lijeva strana nejednakosti je 14,4856; a desna 14,4900; što zaokruženo na dvije decimale daje 1,00.
Po Jensenovoj nejednakosti situacija je:
– prije promjene:
Prosječno opterećenje: $E(q) = \frac{(0,98 +,75)}{2}=0,865$
Trošak prosjeka: $f(E[q]) = 0,865^2 = 0,7482$
Stvarni trošak: $E[f(q)] = \frac{(0,98^2 + 0,75^2)}{2} = 0,7615$
Gubitak po Jensenovoj nejednakosti: 0,7615 – 0,7482 = 0,0133

– nakon promjene:
Prosječno opterećenje: $E(q) = \frac{(0,88 +,85)}{2}=0,865 \text{ , ukupni broj vozila ostao isti}$
Trošak prosjeka: $f(E[q]) = 0,865^2 = 0,7482$
Stvarni trošak: $E[f(q)] = \frac{(0,88^2 + 0,85^2)}{2} = 0,7485$
Gubitak po Jensenovoj nejednakosti: 0,7485 – 0,7482 = 0,0003

Iako je prosječni broj vozila u sustavu ostao isti (0,865), preraspodjelom vozila (promjenom cijena) smanjili smo gubitak prema Jensenovoj nejednakosti s 0.0133 na 0.0003.
U prometnom smislu, to znači da smo gotovo potpuno eliminirali „praznu vožnju“ (kruženje vozila u potrazi za slobodnim mjestom). Sustav je vrlo efikasan jer se stvarni trošak gotovo poklapa s idealnim teoretskim troškom.

Korak 4: Sigurnost i rizik povećanja cijene uličnog parkiranja (Čebiševljeva nejednakost)
Imamo novu popunjenost od 88 %, standardna devijacija ( $\sigma$ ) je 5 %, a ne želimo pad potražnje uličnog parkiranja ispod 70 %.
$k=\dfrac{|0,70 - 0,88|}{0,05} = 3,6$
$P(|0,70 - 0,88|) \gex 3,6 \cdot 0,05) \leq \dfrac{1}{3,6^2} = 0,0772$
Maksimalna vjerojatnost da će popunjenost uličnog parkiranja odstupiti od prosjeka za 18 %, a to znači i pasti ispod 70 % ili skočiti na 106 %, iznosi 7,72 %. Rizik da će ulično parkiranje biti manje popunjeno od 70 % je manji od 7,72 %, odnosno s vjerojatnosti 92,28 % možemo tvrditi da ulično parkiranje neće imati manju popunjenost od 70 %.

Zaključak. Cauchy-Schwarzovom nejednakosti utvrdili smo stupanj (ne)usklađenosti sustava. Jensenovom nejednakosti smo pokazali da je nova politika cijena smanjila ukupni “gubitak” sustava. Čebiševljevom nejednakosti utvrdili smo da je rizik malih 7,72 % da će korisnici napustiti ulično parkiranje – da će popunjenost pasti ispod 70 %.

Ova dva teoretska, ali (morate priznati) i vrlo realna (životna) primjera pokazuju nam da malo volje i srednjoškolske (ili osnovnofakultetske) matematike može u prometnom inženjerstvu biti vrlo učinkovit alat. Nejednakosti, kao i svi znanstveni (matematički) alati, mogu se koristiti od operativnih zadaća do (de)argumentiranja određenih koraka prilikom odlučivanju u prometu.

Zdenko Lanović

PROMIŠLJANJA INŽENJERA PROMETA

Nejednakosti u prometu

Prometno inženjerstvo

Sigurnost prometa

Urbana mobilnost

Pametan i zeleni promet

Upravljanje projektima

ICT usluge

14

Primjena nejednakosti u rješavanju prometnih problema.

Labudovi u prometu

Prometno inženjerstvo temeljeno na dokazima

Od nesigurnih rezultata do pouzdanog dokaza