Par primjera primjene Dirichletovog načela u prometu.

Dirichletovo načelo ili poučak (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, njemački matematičar 1805. – 1859.) je najpoznatije po primjeru golubinjaka (pigeonhole principle). Ako golubinjak ima N pregrada i u njega želimo smjestiti (N+1) golubova, onda će bar u jednoj pregradi biti dva goluba. Ljepota ovog poučka je jednostavnost i primjenjivost, a nedostatak što ne daje način (algoritam) kako naći takvu pregradu. Drugi najčešći ilustrativni primjer je da u grupi od 13 osoba postoje bar dvije s rođendanom u istom mjesecu. Može njih četiri, čak i svih 13 biti rođeno u istom mjesecu, ali opet smo zadovoljili iskaz jer postoji mjesec u kojem bar dvije (i više) osoba imaju rođendan.

U praksi (životu) se najčešće susrećemo s malo složenijim pitanjima. Recimo, ako imamo (2n+1) predmeta koje moramo smjestiti u n kutija, onda ćemo u jednoj kutiji imati tri predmeta. Općenito, ako [n(r-1)+1] predmeta moramo smjestiti u n kutija onda će u barem jednoj kutiji biti r predmeta. Ako imamo 301 putnika koje moramo smjestiti u 6 autobusa, svaki kapaciteta 50 sjedišta, onda smo u problemu, jer: n = 6 autobusa, za 301 putnika imamo r = 51 jer je [6(51-1)+1] = 301. Dakle, u jedan autobus moramo smjestiti 51 putnika, a to ne možemo. Razumna osoba će reći: glupost! Jednom operacijom dijeljenja jasno je 301/6 > 50, a to znači da ne možemo (legalno) prevesti sve putnike. Istina, u ovom slučaju odgovor je očigledan, ali postoje slučajevi kada je primjena Dirichletova načela potrebna jer pojava (proces, problem, izazov, dilema) ne iskazuje odmah (ne)željenu karakteristiku.

Promatramo prometni trak na odsječku ceste duljine 1.200 m podijeljene na n = 12 ćelija, svaka duljine 100 m. Ako u jednoj ćeliji imamo barem četiri ili više vozila to predstavlja gustoću prometa kod koje dolazi do poremećaja; r = 4 vozila. Broj vozila koji može izazvati probleme na dionici je [n(r-1)+1] = [12(4-1)+1] = 37. 

Ovo je primjer koji opravdava primjenu Dirichletovog načela jer nam omogućuje “usitnjavanje” pitanja (problema, modela) do razine lakšeg prepoznavanja nekih procesa u prometnom toku; u ovom slučaju problematičnu gustoću prometa na dionici čija duljina nije “lijepi okrugli” broj. Rješenje (odgovor) nas upućuje na rješenje na čak dvije razine kako: (1) na mezorazini (dionici ceste) operativno upravljati prometom i (2) u nekom čvoru/raskrižju u mreži upravljati količinom prometa (ramp-metering; koliko vozila propustiti u određenom vremenskom intervalu) za postizanje (ne)željene gustoće prometa na dionici.

Drugi najpoznatiji (najpopularniji) opći primjer primjene Dirichletova načela je kroz jednostavan geometrijski problem koji kaže ako unutar kvadrata duljine stranice 1,00 imamo pet točaka, onda sigurno postoje dvije točke koje se nalaze unutar kružnice polumjera 0,40. Rješenje se nalazi o svakoj knjizi o kombinatorici i trivijalno je: kvadrat se podijeli na četiri kvadrata duljine stranice 0,50 i očigledno unutar jednog takvog kvadrata moraju biti dvije točke. Budući manji kvadrat opisuje kružnica približnog polumjera 9/25 što je manje od 10/25 (ili 0,40) onda se dvije točke zasigurno nalaze unutar kružnice polumjera 0,40.

Ako promatramo tramvajsku mrežu u središtu Zagreba onda možemo položiti mrežu kvadrata duljine stranice 424 m, što nam jamči da će položaj svakog stajališta unutar takvog kvadrata biti u dohvatu kružnice polumjera 300 m. Na slici je prikazana takva mreža gdje je tramvajsko stajalište na Trgu bana Josipa Jelačića pozicionirano u središte kvadrata. Mreža pokazuje područja tramvajske mreže gdje imamo veću ili manju gustoću stajališta i gdje ih možda uopće nemamo. Možda je veći broj stajališta opravdan, možda je opravdano imati manje ili uopće ne imati stajališta u nekom području (kvadratu). Za ovaj primjer nevažno. Sliku ne pokazujem kao kritiku/analizu/diskusiju postojeće razdiobe tramvajskih stajališta u središtu Zagreba već kao ilustraciju primjene Dirichletova načela u praktičnom primjeru. Bilo bi vjerojatno puno zanimljivije (intrigantnije) napraviti takvu analizu na drugim dijelovima zagrebačke tramvajske mreže, ali to zadovoljstvo ostavljam drugima. Puno je lakše na situaciju “položiti” mrežu kvadrata umjesto mreže kružnica; to je jasno uspoređujući slike. Meni osobno, lijeva slika je puno jasnija od desne; točno vidim koja lokacija stajališta “pripada” kojem kvadratu. Na desnoj slici treba malo (u nekim situacijama i puno) promisliti za koju kružnicu je vezano pojedino stajalište.

Dirichletovo načelo kod prebrojavanja i analize grupe podataka (skupova) je jako učinkovito. Opet ćemo konkretno. U jednoj prijašnjoj temi opisao sam raskrižje Ulica Grada Vukovara – Avenija Marina Držića u Zagrebu gdje se na sjevernom privozu pojavljuje u jutarnjem vršnom satu: osam tramvaja linije broj 2, pet tramvaja linije 5, devet tramvaja linije 6, osam tramvaja linije 7 i četiri tramvaja linije 8. Linija pet skreće udesno, linije 6, 7 i 8 idu ravno, a linija 2 skreće ulijevo. Karakteristika sjevernog privoza raskrižja je sustav od dvije skretnice: prva skretnica određuje desno skretanje ili ulazak u raskrižje, a druga prolazak raskrižjem ravno ili lijevo skretanje. Na sjevernom privozu se pojavljuje u jutarnjem vršnom satu 34 tramvaja, 5 ih skreće udesno, a 29 ih nastavlja ravno prema drugoj skretnici (nastavljaju ravno prema jugu ili skreću lijevo).  

Dirichletovo načelo nam omogućuje dokazati dvije tvrdnje koje u prometnom smislu (ne) moraju nešto značiti. Prva je da postoji skup (vremenski interval) u kojem 5 ili više uzastopnih tramvaja koji idu ravno na prvoj skretnici. Između pet tramvaja koji skreću desno možemo postaviti šest skupova tramvaja (golubinjaka) koji idu ravno u raskrižje. 

Pretpostavljamo da postoji k + 1 = 5 tramvaja koji idu ravno pa je k = 4, tada imamo (k*n + 1) = (4*6 + 1) = 25 < 29 pa sigurno postoji neki podksup (vremenski interval) tramvaja u kojem zasigurno 5 ili više tramvaja idu uzastopno ravno. Dakle, u nekom dijelu jutarnjeg vršnog sata će prva skretnica biti konstantno u položaju za ravno tijekom prolaska pet ili više tramvaja.

Druga tvrdnja se odnosi na slučaj ako proces započne s tramvajem koji skreće desno, onda preostala 4 tramvaja koji skreću desno dijele skupove tramvaja koji idu ravno u 5 podskupova (golubinjaka). Pet tramvaja u satu predmnijeva neki prosječni interval od 12 minuta pa prvi tramvaj kreće na početku u 0:00, drugi oko 0:12, treći oko 0:24, četvrti oko 0:36 i peti oko 0:48; zato imamo pet intervala (golubinjaka) s tramvajima koji idu ravno na prvoj skretnici jer do punog sata imamo još jedan interval (golubinjak) od 12 minuta.

Tada postoji interval koja sadrži barem 6 tramvaja koji idu ravno. Imamo k + 1 = 6 pa je k = 5. Budući je n = 5 tada je (k*n + 1) = (5*5 + 1) = 26 < 29 pa sigurno postoji neki podksup (vremenski interval) u kojem šest ili više tramvaja idu uzastopno ravno na prvoj skretnici. U nekom dijelu jutarnjeg vršnog sata, ako se promatra proces od trenutka kada tramvaj skrene udesno, barem će za šest ili više sljedećih tramvaja skretnica biti konstantno u položaju za ravno.

Kada sve to malo “zbrojimo” zaključak je jasan: u jutarnjem vršnom satu ćemo zasigurno imati jedan interval u kojem će barem pet tramvaja uzastopno ići ravno na prvoj skretnici i jedan interval sa šest takvih tramvaja. Da li je to važno? Raskrižje radi s duljinom ciklusa C125, imamo 29 ciklusa u satu, a prolazi 34 tramvaja; u barem pet ciklusa će prolaziti dva tramvaja – postoji više tramvaja nego ciklusa. Analiza upućuje na neke (ne)mogućnosti rada semaforskog sustava da se 34 tramvaja (ne)kvalitetno posluži u 29 ciklusa, jer:

• odnos tramvaja na drugoj skretnici je 3 : 1 u korist tramvaja koji nastavljaju ravno (ukupno 21 tramvaja linija 5, 6 i 7) prema tramvajuima koji skreću ulijevo (osam tramvaja linije 2),
• postoji veća vjerojatnost da će dva tramvaja u istom ciklusu (u istoj fazi) htjeti proći raskrižjem ravno; stajalište je nakon raskrižja,
• ako prvi tramvaj u repu čekanja skreće lijevo, a prvo će se upaliti faza za ravno, onda će blokirati tramvaj iza sebe koji ide ravno (ili ulijevo),
• Zagrebački električni tramvaj d.o.o. nema sustav daljinskog najavljivanja (postavljanja) skretnica.

“Golubovi” nam govore o sve tri osnovne prometne veličine: populacija (kako tramvaji dolaze na raskrižje), prostor (kakvo nam tramvajsko stajalište treba na južnom dijelu raskrižja) i vrijeme (što bi sve semaforski uređaj i pripadajuća tehnologija praćenja tramvajskog prometa trebali raditi). Imamo 245 sati u godini (svaki jutarnji vršni sat radnog dana) ili čak više od toga (više sati radnim ili drugim danima s tolikim brojem tramvajskih vlakova) pa postoji pretpostavka (hipoteza) za (ne)poduzimanje nekih terapijskih mjera prometne tehnike (ili politike, kako Vam drago).

Korisnici raskrižja su prije (pre)često svjedočili opisanim događajima, danas malo rjeđe jer je smanjen broj tramvaja, ali namjernik na ovo raskrižje i danas može zapaziti opisane pojave. Uravnoteženjem prometa u Zagrebu nakon Covid-19 i potresa, što ide jako sporo – ali ide, vratit ćemo se opet koliko-toliko na staro. Da li takva događanja (ne) utječu na kvalitetu odvijanja tramvajskog prometa i koliko (ne) utječu, na to pitanje nam može odgovoriti “njegovo veličanstvo” simulacija, naravno objektivna (nelažirana) simulacija, a rezultat simulacije nas upućuje koliko se novaca isplati (ako se uopće isplati) potrošiti da bi se neki nedostatak (problem, pojava, izazov, dilema) ublažio ili eliminirao. Dirichletovo načelo pokazuje i dokazuje što će se sigurno dogoditi i to u nekom određenom iznosu. Uvijek su mogući posebni (ekstremni) uvjeti, npr. uzastopno dođu dva tramvaja koji skreću udesno; načelo neće biti narušeno, jer će nakon toga sigurno doći neki interval sa puno više od šest uzastopnih prolazaka tramvaja koji idu ravno na prvoj skretnici, a šest će ih biti sigurno. 

Kao što sam uvodno rekao, Dirichletovo načelo ne daje algoritam kada će se i na koji način nešto dogoditi, nego da će se sigurno dogoditi u nekom određenom ili većem iznosu. Takvo saznanje daje vrijeme i prostor za pripremu (aplikaciju) nekog postupka (rješenja) kojim će se popratiti (ublažiti) specifičan događaj. 

Golubovi, ili bilo koja druga ptica, i zračni promet predstavljaju “jednadžbu” čije rješenje daje jako loš (pogibeljan) rezultat, ali tema je pokazala ako koristimo “teoretske golubove” onda u svakom dijelu prometne tehnike možemo naći njihovu dobrodošlu primjenu.