Primjena trokutaste razdiobe u prometnom inženjerstvu.
Trokutasta razdioba je „prognana“ iz znanstvenostručnog miljea. Vrlo rijetko se koristi. Najčešće zamjerke su: ne počiva na jakim teoretskim matematičkim načelima, predmnijeva se linearan rast i pad bez mogućnosti opisivanje nekih složenijih pojava distribucije podataka, jaka ovisnost o tri ulazna podatka. U (malobrojne) prednosti se ubraja: korisna je u slučajevima jako malo ulaznih podataka, jasni zaključci kada ulazni podatci imaju znanstvenostručno uporište.
U klasičnoj makroskopskoj teoriji prometnog toga (Lighthill-Whitham-Richards model) kod najpoznatijeg teoretskog modela prometni tok – gustoća odnos se opisuje kvadratnom funkcijom. Međutim, praksa ide u korist trokutaste razdiobe. Pokazujem primjer Zagrebačke avenije u Zagrebu iz svibnja 2021. godine u kojem trokutasta razdioba bolje opisuje ulazne podatke.
Trokutasta razdioba, tako joj ime kaže, počiva na tri vrijednosti:
– minimalna vrijednost skupa,
– mod skupa (najčešća vrijednost, vrijednost s najčešćom frekvencijom),
– maksimalna vrijednost skupa.
Funkcija gustoće trokutaste razdiobe je:
![\[ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} & \text{for } a \leq x < b, \\ \frac{2(c-x)}{(c-b)(c-a)} & \text{for } b \leq x \leq c.\\ \end{cases} \vspace \] \vspace{1 cm}](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dd6eb76f368e5df0a01f40f2866e3c03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ukupna vjerojatnost mora biti 1, a funkcija gustoće nam pokazuje da moramo izračunati dva integrala:
![\[ \int_{a}^{c} f(x) \, dx = 1. \] \[ \int_{x_1}^{x_2} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} \, dx = \left[ \frac{x(x-2a)}{(b-a)(c-a)} \right]_{x_1}^{x_2} = \frac{(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2a)}{(b-a)(c-a)} \] \[ \int_{x_3}^{x_4} \frac{2(c-x)}{(c-a)(c-b} \, dx = \left[\frac{x(2c-x)}{(c-a)(c-b)} \right]_{x_3}^{x_4} = \frac{(x_4 - x_3)(2c - x_3 - x_4)}{(c-a)(c-b)} \]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-176daba189426c50ad73c5475a199289_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ako uvrstimo granične vrijednosti , i dobivamo:
![\[ \int_{a}^{b} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} \, dx = \left[ \frac{x(x-2a)}{(b-a)(c-a)} \right]_{a}^{b} = \frac{(b - a)(a + b - 2a)}{(b-a)(c-a)} = \frac{b-a}{c-a} \]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b149e60178d5e49df50b6cd778646f2d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
i
![\[ \int_{b}^{c} \frac{2(c-x)}{(c-a)(c-b} \, dx = \left[\frac{x(2c-x)}{(c-a)(c-b)} \right]_{b}^{c} = \frac{(c - b)(2c - c - b)}{(c-a)(c-b)} = \frac{c-b}{c-a}](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d802dfa6eb23f59805e479c6cba6f15f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
i njihov zbroj daje ukupnu vjerojatnost jednaku 1. Rješenja integrala možemo dalje koristiti. Ili ne moramo! Postoji li nešto jednostavnije? Možemo koristiti jednostavne jednažbe geometrije trokuta:
![\[P_\Delta = \frac{(c-a)}{2} f(b) \] \[P_\Delta = 1 \Rightarrow f(b) = \frac{2}{c-a} \] \\](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dee33d3414f7769b67bcc7a8d0ed3e6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
i funkcija gustoće se računa:
![\[ f(x) = \begin{cases} \frac{f(b)}{(b-a)}(x-a) & \text{for } a \leq x < b, \\ \frac{f(b)}{(c-b)}(c-x) & \text{for } b \leq x \leq c.\\ \end{cases} \vspace \] \vspace{1 cm}](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-51a355c8cae91c41cb70d898be6c1391_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rijetko znamo mod skupa, najčešće nam je poznata srednja vrijednost. Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) i standardna devijacija jednaki su:
![\[E(X) = \frac{(a+b+c)}{3} \] \[\sigma(X) = \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2 - ac - ab - bc}{18}} \] \\](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4138a45743f4d2495a0c77403a67d669_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
pa možemo lako izračunati mod skupa ili koristiti nejednakosti iz prehodne teme.
Uzet ću primjer brojila prometa 6601 Zaton opisanog u prvom nastavku teme. U brojanjima prometa za 2023. godinu mogu se procijeniti minimalna i maksimalna vrijednost dnevnog prometa u ljetnom periodu. Znamo PLDP pa možemo putem trokutaste razdiobe donijeti neke zaključke. Tri ulazne veličine su:
min = 14100 voz/dan,
max = 21000 voz/dan,
PLDP = 17394 voz/dan.
PLDP je srednja vrijednost pa iz gornjih jednadžbi lako izračunamo mod skupa koji iznosi 17.082 voz/dan. Jednadžbe funkcije gustoće nam mogu poslužiti za izračun kvartila, odnosno za procjene veličina prosječnih dnevnih prometa kako bi podijelili skup na četiri dijela. Uz tri ulazna broja imamo dostatnu sliku prometne potražnje na brojilu prometa 6601 Zaton tijekom ljeta 2023. godine.
Jedan trokut i puno podataka:
- 31 dan ljeti (50 % vremena) dnevni promet je bio u rasponu 16.368 – 18.398 voz/dan,
- 15 dana ljeti (25 % vremena) promet je bio veći od 18.398 voz/dan, a maksimalno oko 21.000,
- 15 dana ljeti (25 vremena) promet je bio manji od 16.368 voz/dan, a najmanji oko 14.100,
- najčešća vrijednost je bila 17.343 voz/dan,
- standardna devijacija je iznosila 1.413 voz/dan
- nije bilo stršećih vrijednosti (outliers),
- maksimalna i minimalna vrijednost nalazi se unutar tri standardne devijacije od srednje vrijednosti (PLDP),
- zadnja dva navoda upućuju da je promet na brojilu prometa 6601 Zaton tijekom ljeta 2023. godine vjerojatno bio normalno distribuiran.
Uz malo muke (10-tak minuta) i tri broja (jedan točan i dva približna) izračunali samo i zaključili dosta zanimljivih stvari, od koliko vremena (dana) su bile različite razine prometnih opterećenja, preko mjera rasipanja podataka oko srednje vrijednosti (je li PLDP općenito dobar reprezentant ljetnog prometa) pa do zaključka da nije bilo “spektakularnih” procesa, osim činjenice da se ipak radilo o vrlo velikom prometu za takav profil ceste.
Imamo li u prometnom inženjerstvu slučajeve s tri ulazna podatka? Dovoljno. Puno stvari u prometu vezanih za vrijeme često se vrednuju (opisuju) prosječnom vrijednosti (izmjerenom ili procijenjenom) te intervalom minimalne i maksimalne vrijednosti pa primjenom trokutaste razdiobe možemo donijeti kvalificirane zaključke. U cestovnom (gradskom) prometu najčešće sam (ne)izravno sretao takve veličine vezane za:
- vremena izmjene putnika na stajalištima javnog prijevoza,
- varijabilnosti repova čekanja,
- modeliranje ponašanja vozača u simulacijama,
- procjene/simulacije svih vrsta poremećaja u prometu (kvar vozila, intervencija žurne službe, kvar opreme i vrijeme potrebno za dolazak službene osobe na regulaciju prometa i dr.)
- vrijeme popravka od nastanka kvara (ne)kritične prometne opreme,
- promjene prometne prometne potražnje.
U prvom nastavku imali smo jedan ili dva podatka i napravili smo pristojnu limunadu. Ovdje smo imali još jedan podatak više, ukupno tri, i znakovito smo poboljšali ukus. Moguće još nije za hotel 5*, ali nitko ne može prigovoriti na količinu i kakvoću limunade napravljene trokutastom razdiobom.
