Možda se danas rjeđe izravno spominje, ali ova tehnika je (ne)izravno prisutna u većini simulacijskih rješenja.

U vrijeme mainstreama umjetne inteligencije, i svega ostalog s time povezanog, možda se čini staromodnim (nazadnim, zaostalim) spominjati nešto nastalo 1940. godine. Imam knjige koje u prilogu imaju tablice slučajnih brojeva za nekadašnja zamorna i mučna ručna izračunavanja; njihovo listanje me uvijek podsjeti koliko je metoda stara i koliko su “računalne generacije” sretne, barem po tom pitanju. Ako koristimo računalo (a kada ne koristimo!?) i pri tome je “upetljano” nešto iz vjerojatnosti i/ili statistike (često) ili nešto optimiziramo (još češće) bez čvrste algoritamske (algebarske) strukture, onda je Monte Carlo metoda uvijek sastavni dio našeg posla.

Dvije definicije pokazuju kako gledam na ovu metodu. Prva, Monte Carlo metoda je simulacijski postupak koji koristi mogućnosti generiranja (kvazi)slučajnih brojeva za izračunavanje, procjenjivanje i/ili predviđanje stanja simuliranog sustava. Druga je nešto jednostavnija i izravnija, Monte Carlo je numerička metoda kojom se putem generiranja slučajnih brojeva rješavaju zadaće determinističkog ili stohastičkog karaktera.

Opisat ću dva primjera koja sam već prije općenito pokazao u ovom blogu. Prvi, jednostavniji, je bio vezan za paradoks vremena čekanja prikazan u ovoj temi gdje sam koristio Python program, a drugi primjer je bio sporadično spomenut u temi o digitalnim blizancima gdje sam pokazao razliku između analitičkog modela u Excelu i profesionalnog softwarea koji, osim analitike, nudi i (velike) prezentacijske mogućnosti. Oba primjera uključuju razdiobe vjerojatnosti, a drugi primjer ima elemente optimizacije – nalaženja najboljeg (prihvatljivog) odgovora.

U prvom primjeru, s Python programom, generator slučajnih brojeva koristi se na dva mjesta. Prva grupa crta označena žutom bojom su generator slučajnih brojeva i izračun vremena dolaska autobusa u vremenskim intervalima od 30-tak minuta, gdje se upravo generatorom slučajnih brojeva dobiva realnost (neravnomjernost) dolazaka; nekad kraće, a nekad dulje od 30 minuta, rijetko kad točno 30 minuta. Druga grupa žutih crta je novi generator slučajnih brojeva za simuliranje dolazaka putnika na stajalište koji potom izračunava (simulira) vrijeme dolaska na stajalište svakog od 210.000 putnika godišnje.

Što se time dobiva i do kojih zanimljivih zaključaka se dolazi piše u spomenutoj temi o taktnom voznom redu. Ovo je primjer korištenja Monte Carlo metode u području vjerojatnosti gdje uniformni (taktni) dolasci autobusa u intervalima od 30-tak minuta te ravnomjerni (uniformni) dolasci putnika na stajalište pomoću slučajnih brojeva dobivaju elemente realnog (stohastičkog) procesa.

Drugi primjer ću malo detaljnije obraditi kao motivaciju čitatelju/ici da ne treba biti obeshrabren neposjedovanjem određenih (preskupih) programskih rješenja. Problem je iz 2010. godine pa molim čitatelja/icu da svoje razmišljanje prilagodi tom vremenu. Početak uvođenja ENC-a je bio četiri godine ranije. Zadaća je bila analizirati funkcioniranje bočnog cestarinskog prolaza (naplatne postaje) s jednim ili dva naplatna mjesta.

Uz malo volje i znanja mogu se dobiti jednako dobri rezultati s dostupnim (besplatnim) programskim alatima. Moglo bi se kritizirati da je primjer na “zalasku karijere” jer se najavljuje novi beskontaktni sustav naplate na autocestama, ali nemojte gledati sadržaj već način na koji je problem riješen. Primjer spada u kategoriju “što – ako” modela; nalaženje odgovora treba li proširivati cestarinski prolaz ili povećati broj korisnika ENC-a (promocija, popusti). Naravno da korištenje profesionalne aplikacije izgleda lijepo, atraktivno i uvjerljivo kako pokazuju slike bez (lijevo) i s korištenjem (desno) ENC poslužiteljskog mjesta, ali s inženjerskog motrišta rezultati dobiveni korištenjem tabličnog kalkulatora nisu ništa slabiji. Dapače, podjednaki su uz utrošak puno manje vremena i novaca; možete samo pojmiti koliko je koštala ovakva aplikacija (analitika, simulacija, vizualizacija) 2005. godine, a možda i ne možete.

Treba ispitati oko 250 vozila koji se pojavljuju prema Poissonovoj razdiobi vjerojatnosti, što je upućivalo i potvrđeno je da se intervali slijeđenja ponašaju po eksponencijalnoj razdiobi vjerojatnosti. Tadašnje ukupno vrijeme naplate – zauzeća naplatnog mjesta (dolazak, naplata, odlazak) izmjereno je i potvrđeno uniformnom razdiobom u intervalu 15 – 25 s. Prometni tok se ponaša prema poznatoj razdiobi vjerojatnosti pa se izborom slučajnih brojeva može napraviti simulacijski model.

Ulazni podatci: prometni tok od 250 voz/h = 0,07 voz/s, vozila se na naplati pojavljuju prema Poissonovoj razdiobi vjerojatnosti s intervalom slijeđenja po eksponencijalnoj razdiobi vjerojatnosti, a vrijeme posluživanja iznosi 15 – 25 s. Vjerojatnost da će u intervalu (t) proći (x) vozila je: 

Interval slijeđenja se ponaša prema eksponencijalnoj razdiobi vjerojatnosti. Uvrštavajući u funkciju gustoće slučajan broj (RND) za pojavljivanje vozila na naplati dobiva se jednadžba za izbor intervala slijeđenja:

a vrijeme posluživanja je:

Rezultat je očekivan. Kontaktno naplatno mjesto ima propusnu moć oko 200 voz/h pa su simulacije ukazale na neodrživu prometnu situaciju koja prognozira čekanje dulje od 15 minuta i rep čekanja preko 30 vozila. Budući se naplati prilazi iz dva smjera moguće su situacije s vrlo malim razmacima slijeđenja.

Pri tolikoj količini prometa potrebno je uvesti i drugu kontaktnu naplatu. U tom slučaju zbog različite brzine rada službenika i neravnomjernog pristupa naplati, jedno naplatno mjesto će biti opterećenije. Ako bi opterećenija naplata u jednom satu poslužila 140 vozila onda dobivamo održivo prometno rješenje. Grafovi pokazuju da repovi čekanja neće biti dulji od 5 vozila, a prosječno čekanje na opterećenijoj naplati je manje od 40 sekundi. 

Prije 2010. godine ENC nije bio instaliran na svim bočnim cestarinskim prolazima pa je trebalo istražiti hoće li instaliranje i korištenja ENC-a od strane 10-tak posto korisnika omogućiti održivo stanje, ili će i dalje trebati angažirati dodatne zaposlenike. Za vozila koja imaju ENC stavio sam vrijeme naplate = 0 s. Naravno, pogrešno, ali ionako sam imao zadaću analizirati kanal posluživanja s kontaktnom naplatom. Ako je kod naplate ENC-a vrijeme nula, onda je puno lakše identificirati vozila koja će koristiti kontaktnu naplatu.

Za slučaj dolaska 250 voz/h i 10% korištenja ENC uređaja rezultati su pokazivali u većini simulacija održivu prometnu situaciju s repovima čekanja do 15 vozila i prosječnim vremenom čekanja do 80 s, ali bilo je i simulacija s repovima čekanja duljim do 20 vozila i prosječnim vremenom čekanja do 100 sekundi.

Zanimljiva situacija. Imamo prometni tok od 250 vozila, od kojih 225 ide na kontaktnu naplatu, a 25 koristi ENC. To je i dalje za 13 % više od realne propusne moći kontaktnog naplatnog mjesta, a ne dolazi do neodrživog prometnog stanja. Kako? Objašnjenje je u prometnom procesu koji se ne može odmah “iščitati” iz ovakvih tablica, ali grafovi pokazuju o čemu se radi. Na kontaktnoj naplati se stvaraju povremeno povećani repovi čekanja, ali 10 % vozila koje dolazi na ENC je dostatan broj kojim se smanjuje pritisak na kontaktnu naplatu na način stvaranja dovoljnog vremenskog prozora za nestanak povećanog repa čekanja. Prethodni grafički prikaz to pokazuje u vremenu između 450. i 550. sekunde. Rep počinje rasti do 15 vozila, ali povremeni dolazak vozila na ENC smanjuje pritisak na kontaktnu naplatu u tolikoj mjeri da nema daljnjeg povećanja. Da je to objašnjenje točno potvrđuje sljedeća simulacija sa 225 vozila bez ENC-a, gdje je stanje puno lošije lošije od simulacije s 250 vozila od kojih 25 koristi ENC.

Za slučaj dolaska 250 voz/h, od kojih 20 % koristi ENC uređaje, niti u jednoj od 200 simulacija nije došlo do repa čekanja većeg od 10 vozila; najdulji rep je kraći od 10 vozila, a prosječna vremena čekanja nisu prelazila 60 s. 

Priznajem, kod ovakvih rubnih situacija dobro kalibriran simulacijski model s mogućnostima foto-realističnih vizualizacija je neprikosnoven tabličnom kalkulatoru, ali uz malo volje, iskustva, znanja i vještine inženjera te otvorenog uma investitora moguće je i tabličnim kalkulatorom vjerodostojno opisati prometni proces.

Zagovornici prostornog (građevinskog) rješenja uvijek imaju “asa u rukavu” u obliku pouzdanosti, o čemu samo pisao u ovoj temi. Na tu primjedbu daju se dva odgovora. Prvi, glede pouzdanosti moguć je kvar cijelog sustava naplate pa niti deset kontaktnih mjesta ne jamči održivi prolaz u takvoj situaciji, a drugi da je moguće ENC naplatno mjesto pretvoriti u kontaktno i obrnuto.

Poslovni izvještaj Hrvatskih autocesta za 2022. godinu kaže da 44 % vozila koristi ENC, a propusna moć ENC kanala je oko 1.000 voz/h. U takvim uvjetima (250 voz/h od kojih 40 % koristi ENC) sam “uspio” u 200 simulacija dobiti dvije simulacije s repom čekanja većim od pet vozila. Ostalih 198 simulacija nije prelazilo rep čekanja 2 – 4 vozila, a prosječna vremena čekanja su kraća od 40 sekundi.

U ovom primjeru vremenska komponenta je “pobijedila” prostornu, čak i uz eventualno znatno povećanje populacije (prometne potražnje). Automatizacija u prometu, bez obzira na vrijeme, mjesto, utjecaj i karakter je nešto što znatno doprinosi prometnom procesu, a često (kao i u ovom primjeru) eliminira potrebu zadiranja u prostor; implementaciju puno skupljih građevinskih zahvata.

Kako sam prije površno natuknuo, potrebno je par stotina (tisuća) simulacija za utvrđivanje nekog trenda i/ili reprezentanta procesa. Za tablični kalkulator (Excel) je lako napisati macro skriptu (petlju) za izvršenje određenog broja simulacija, rezultate spremati i iz toga izvlačiti mjere centralne tendencije. Prvi primjer u Pythonu formalno predstavlja 8.000 simulacija dolazaka autobusa koje koristi 210.000 putnika. Broj simulacija dolazaka autobusa i putnika jamči reprezentativnost rezultata.

Oba prikazana primjera su još jedan dokaz “ljepote i prokletstva” fenomena prometnog procesa koji zahtijeva istovremeno sagledavanja populacijske, prostorne i vremenske veličine. Ponekad dobivamo očekivane (željene) rezultate, ponekad razočaravajuće, ponekad iznenađujuće, a ponekad i kontraintuitivne.

Monte Carlo metoda je vrlo moćna, nije svemoćna, ali može biti važna (neizostavna) kada je koristimo razumno, na način i u opsegu konkretnog problema (izazova, dileme).