Primjeri korištenja u cestovnoj mreži
Linearna algebra je jedan od znanstvenih temelja računarskih znanosti, a time i današnjeg tehnološkog razvoja, kojeg nazivamo IR 4.0, pa je često prisutna i u ovom blogu; neki primjeri:
- linearno programiranje,
- dinamičko programiranje,
- cjelobrojno programiranje,
- AHP metoda,
- Markovljevi lanci,
- analiza socijalnih mreža,
- problem pokrivanja skupa,
- Page-Rank algoritam.
Ovdje ću se vratiti iskonskoj primjeni u tehničkim znanostima, rješavanju sustava linearnih jednadžbi. Tko će pročitati temu do kraja može prigovoriti da primjeri nisu baš stimulativni jer sve to, ionako, rješavaju (manje-više uspješno) programski paketi. Postoje barem dva argumenta zašto je „računanje pješice“ ponekad (itekako) opravdano:
- analiza (ne)poznatog detalja,
- spoznaja i ekonomiziranje procesa rada na problemu.
Kada sustav linearnih jednadžbi nema rješenje, kada ima jedinstveno ili (beskonačno) mnogo rješenja, tko je zaboravio može prisjetiti iz knjiga i(li) svojih studentskih bilježnica. Ovdje se bavim meritumom stvari prometnog inženjerstva. Oba primjera su cestovni objekti, dovoljno mali da bi bili uravnoteženi (jednak broj vozila ulazi i izlazi iz sustava), a opet dovoljno složeni (kompleksni) za potrebu korištenja matematičkog aparata. Zato je razumna (i jedina moguća) premisa tražiti rješenje zasnovano na osobnim preferencijama korisnika (vozača), rješenje sustava u obliku korisničkog uravnoteženja – user equilibrium.
Sustavi su računani web aplikacijom Matrix Calculator; jednostavna za korištenje i daje sve korake rješenja. Oba primjera su iz moje projektantske prakse. Prvi je (malo) izmijenjen s promijenjenim brojevima, a drugi je točno prikazan jer su podatci već javno objavljeni.
U prvom primjeru je prometna mreža organizirana, kako je prikazano na slici, s prometnom potražnjom prometnih entiteta (vozila, putnici, pješaci i dr.) u jedinci vremena.
Izjednačavajući ulazne i izlazne tokove svake točke dobivamo sustav četiri jednadžbe s četiri nepoznanice. Sustav nema jedinstveno rješenje; za točnu razdiobu moramo poznavati barem jedan atribut spojnice, a to je tok x4. Nalazimo se u realnim prometnim uvjetima (nema spojnica s negativnom prometnom potražnjom) pa veličina x4 ima granice: od minimalne vrijednosti kojom eliminiramo potrebu za spojnicom x2 pa do maksimalne kojom eliminiramo potrebu za spojnicom x1.
![\[ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 850 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1250 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 1450 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1050 \end{array} \right) \] \\ \\ x_1 &= 1250 - x_4 \Rightarrow x_4 \le 1250 \\ x_2 &= -400 + x_4 \Rightarrow x_4 \ge 400 \\ x_3 &= 1050 + x_4 \\ x_4 \in [400,1250]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98e9b295f0619c19cf323a0018c0fe70_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ako se odlučimo izgraditi spojnicu (cestu) C –> B , imamo sustav s četiri jednadžbe i pet nepoznanica pa dobivamo dvoparametarsko rješenje. Ako namjestimo (x4 + x5 = 1250) eliminiramo potrebu za spojnicom x1, a u slučaju (x4 + x5 = 400) ne trebamo spojnicu x2.
U slučaju izgradnje spojnice A –> D rješenje bi omogućilo da s veličinama x4 = 1250 i x5 = 850 eliminiramo potrebe za spojnicama x1 i x2.
Što (ne) treba izgraditi ili ukinuti, što bi bilo ako se promijeni organizacija prometa i drugi odgovori dobivaju se brzo korištenjem sustava lineranih jednadžbi.
Opisani primjer možemo zamisliti i kao mrežu javnog prijevoza gdje su točke A, B, C i D (multi)modalni terminali – mjesta veće fluktuacije (izmjene) putnika, a spojnice koridori javnog prijevoza na kojima je podjednak broj ulazaka i izlazaka. Rješenje sustava nam pokazuje na kojim koridorima se može povećati/smanjiti broj voznih redova, odnosno različitim rješenjima možemo manipulirati prijevoznom ponudom zadržavajući dostatan dinamički kapacitet.
Drugi primjer je konkretan projekt, prikazan i u stručnom časopisu. Prijašnje stanje (kružni rok prometa i Y-raskrižje kao jedan sustav) i organizacija prometa upućivali su da bi mjerenje prometne potražnje (kretanje prometnih tokova) zahtijevalo dosta napora – aktivnog praćenje kretanja svakog vozila. Sve to onda asignirati na spojnice budućeg raskrižja (sedlastog kružnog toka prometa) ne izgleda baš jednostavno.
Kreacija i rješenje sustava linearnih jednadžbi pokazuju da je jednostavno asignirati prometnu potražnju na sve spojnice. Rješenje pokazuje da je potrebno brojati samo ulaske i izlaske iz sustava raskrižja i dvije spojnice postojećeg kružnog toka, a to su mjerenja koja je vrlo lako provesti; bilo ručno, bilo automatski.
Ako govorimo o cestovnom prometu, postoji ona čuvena: pa neće se oni tako voziti! Kada to čujete, vjerujte, koliko god se trudili (dokazivati egzaktnost postupka), nema pomoći. U tim (vrlo neugodnim) situacijama osobno se priklanjam jednom od načela Murphy’s Law: nikada ne raspravljaj s budalom, ljudi možda neće uočiti razliku.
U prvom primjeru moguće su svakakve varijacije, na to upućuju parametarska rješenja. Poznajući atribut barem jedne unutarnje spojnice, nestaje i ta neizvjesnost (nesigurnost).
Drugi primjer je slično pokazao kako izbjegavamo neizvjesnost. Poznajući prometnu potražnju dva (lako mjerljiva) unutarnja linka znamo točna prometna opterećenja cijelog sustava.
Oba primjera pokazuju kako sustav linearnih jednadžbi i njegovo (opće) rješenje možemo koristiti u primjeni reverznog (obrnutog) inženjeringa. Nalaženjem (općeg) rješenja znamo kako krenuti – koja terenska ispitivanja (najjednostavnija, najekonomičnija, najlakša) obaviti kako bi znali sebi i drugima objasniti kako se oni voze i kako će se voziti.
I u realnoj mreži dvosmjernih cesta (spojnica) možemo koristiti sustav linearnih jednadžbi, jer možemo neovisno rješavati sustave po smjerovima kretanja. Možemo gledati koliko god sustava hoćemo dok je proces kojeg promatramo (analiziramo, obrađujemo) stacionaran. Mali dio prometne mreže i kratak interval promatranja (do jednog sata) jamči stacionarnost, a ovdje smo se bavili upravo takvim problemima. Slično je i za prostorno ili strukturno veće mreže; dokle god imamo jasne (i mjerljive) ulazno/izlazne točke – nema problema koristiti ovaj matematički aparat.
Koliko je sustav linearnih jednadžbi praktičan (učinkovit) pokazuju i slučajevi kada ne znamo točne podatke ulazno/izlaznih tokova. Svi smo imali (ne)ugodna iskustva gdje je bilo lakše brojati nešto unutar sustava, a ne na njegovim granicama (rubovima). Postupak modeliranja i način rješavanja sustava jednadžbi je identičan opisanim primjerima, a parametri rješenja će nam pokazati maksimalnu/minimalnu (razumnu) granicu ulaznih tokova i(li) izlazni promet prema nekom dijelu prometne mreže.
Nije ponekad loše zastati na početku, vidjeti što imamo, postaviti problem koji će nam reći postoji li rješenje i što nam sve (ne) treba. Možemo uštedjeti dosta vremena i novaca te ponešto živaca. Za 10-tak minuta znamo odgovor, a za toliko vremena nismo ni postavili osnovne parametre mreže u nekoj profesionalnoj aplikaciji.
