Kada (ne) smijemo razmišljati linearno u prometu.
U (cestovnom) prometu mnoge pojave opisujemo linearnim modelima, dok sam promet ima malo toga linearnog (proporcionalnog). Konkretan primjer transformacije stvarnog (nelinearnog) prometnog problema u učinkovit i koristan model linearnog programiranja pokazao sam ovdje. Takav pristup je opravdan i moguć ako napravimo restrikciju prometnog procesa na jedan mali, opravdani i održivi segment koji se može linearizirati.
Kada govorimo o prometu općenito, a poglavito njegovim pojavnostima, onda nelinearna priroda izbija u prvi plan. Ako ostanemo zarobljeni u inženjerskim pojednostavljenima, ako se zaboravimo u odnosu na domenu promatranja problema, onda naši zaključci ispadaju dvojbeni, nestručni, a ponekad i smiješni.
Uzmimo jednostavan školski primjer. Na dionici duljine 60 km dopuštena brzina je 60 km/h. Treba nam jedan sat (60 minuta) za prolazak, ako bi vozili duplo sporije (30 km/h) onda bi nam trebalo dva sata, a ako bi su usudili voziti 120 km/h trebalo bi nam pola sata (30 minuta), duplo kraće vrijeme. Sve jasno i točno pa je zaključak jednostavan: za svaku minutu putovanja više ili manje treba nam 2 km/h niža ili viša brzina od dopuštene pa odnos uštede vremena i povećanja brzine gledamo kao omjer 1:2.
Drugi način razmišljanja svodi se na omjer 1:1; za svaku minutu putovanja više ili manje treba nam 1 km/h niža ili više brzina od dopuštene. Kako to tumačimo? Ako želimo putovati 5 % kraće vrijeme (57 minuta) onda nam treba brzina 63,16 km/h što je oko 5 % veća brzina; točnije 5,3 %. Zaključak: za svaki postotak promjene vremena putovanja možemo pretpostaviti sličan je recipročan iznos brzine pa vrijedi omjer 1:1.
Oba razmišljanja su logična i u određenim restrikcijama promatranja prihvatljiva, ali isto tako znamo da su esencijalno pogrešna. Tri osnovne prometne veličine: populacija, prostor i vrijeme, promatramo u osnovnom fizikalnom odnosu brzine, a to znači da međusoban utjecaj veličina nije proporcionalan (linearan).
Sljedeći graf objašnjava zablude. U omjeru 1:2 krivulje se poklapaju u samo dvije točke: (1) bez smanjenja vremena putovanja i (2) duplo kraće vrijeme putovanja, a u omjeru 1:1 krivulje se poklapaju do nekih 3 %; uz inženjerski prihvatljivu grešku makroskopskog promatranja prometa do 5 %.
Graf pokazuje točku da za smanjenje vremena putovanja za 15 minuta trebamo povećati brzinu za 20 km/h, odnosno za putovanje od 45 minuta trebamo voziti 80 km/h, odnosno za putovanje kraće za 25 % moramo voziti brže 33 % od dopuštene brzine. Graf pokazuje koliko smo pogriješili vjerujući „procjenama“: za omjer 1:1 brzina je 75 km/h, a za 1:2 brzina je 90 km/h.
Koliki su ti odnosi? Ako s indeksom “0” označimo inicijalno putovanje na dionici 
koju vozilo prođe brzinom 
za vrijeme 
, onda možemo izračunati za koju promjene brzine 
će se promijeniti vrijeme putovanja za 
:
![\[ T_0 = \frac{d}{v_0} \] \[ \Delta t = \frac{d}{v_0} - \frac{d}{v_0+\Delta v} \newline = T_0 - T_0 \left( \frac{1}{1+\frac{\Delta v}{v_0}} \right) \newline \] \[ \frac{\Delta t}{T_0} = 1 - \left( \frac{1}{1+\frac{\Delta v}{v_0}} \right) \newline \] \[ \frac{\Delta t}{T_0} = \frac{\frac{\Delta v}{v_0}}{1+\frac{\Delta v}{v_0}} \] \[ y = \frac{x}{1+x} \]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0bab28ec1efc5d90617a3f086d628cbc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rješenje je razlomak (racionalna funkcija) koji nam kaže da je promjena nezavisne veličine jednaka odnosu promjene zavisne veličine i ukupnog iznosa promjene zavisne veličine. Ako na dionici duljine 60 km brzinu povećamo za 1/3, sa 60 km/h na 80 km/h, onda će ušteda vremena iznositi 25 %, odnosno umjesto 60 min putovat ćemo 45 min:
![\[ \Delta t = \dfrac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}= \frac{1}{4} = 0,25 \]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db708d0abb2a32f78dae743ff9997a31_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Moramo voziti 33,33 % iznad dopuštene brzine da bi vrijeme putovanja smanjili za 25 %.
Zašto uopće dolazi do grešaka, podcjenjivanja ili precjenjivanja zavisne veličine, zašto (pre)često mnogi pogrešno procjenjuju mijene prometnog procesa? Dio odgovora se također krije u sljedećoj zabludi. Racionalna funkcija ima inverznu funkciju u restrikciji pozitivnog intervala 
pa je:
![\[ f^{-1} \rightarrow x = \dfrac{y}{1 - y} \]](https://lanovic.eu/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-579dd3493f3e434f52df466920c2914f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Inverzna funkcija nam kaže za koliko će se primijeniti brzina za željenu uštedu vremena. Graf te funkcije izgleda “linearno” do vrijednosti 60 – 65 % uštede vremena.
Takvo “obrnuto” i površno gledanje dovodi mnoge u zabludu da je prometni proces većim dijelom linearan (proporcionalan), a tek u vršnim vrijednostima pokaže svoje “pravo lice”. Ako smanjimo segment promatranja inverzne funkcije do 90 % uštede vremena, vidimo da se radi o konveksnoj i rastućoj funkciji; logično jer je originalna funkcija konkavna i rastuća.
Nije u prometu nelinearnost uvijek loša. U semaforizaciji nam nelinearnost (često) jako pomaže jer 1 – 2 s čine čuda. Kolika, pokazao sam ovdje. Jednostavan i životan primjer pokazuje zašto je prometno ovisno ili adaptivno upravljanje toliko učinkovito. Imamo natprosječno opterećenu neku grupu prometnih traka – stupanj opterećenja je 0,40. U tom slučaju, ako je omjer efektivnog zelenog i duljine ciklusa isto 0,40 onda je stupanj zasićenja jednak 1,00. Svako daljnje povećanje zelenog smanjuje stupanj zasićenja; poboljšava uvjete prometovanja.
Ako povećamo duljinu zelenog za dva postotna boda onda ćemo smanjiti stupanj zasićenja za pet postotnih bodova, a ako povećamo zeleno za 10 postotnih bodova smanjit ćemo stupanj zasićenja za 20 %. U praksi to izgleda ovako. Ako imamo stupanj opterećenja grupe traka 0,40 i u duljini ciklusa od 100 s zeleno svjetlo od 40 s povećamo za 2 s (na 42 s), smanjili smo stupanj zasićenja za 5 %. Zbog 2 s (2 % duljine ciklusa) smo stanje iz uvjeta povećanih repova čekanja (“kaos”, “kolaps”) preveli u stanje održivog prometa. Isto tako nelinearnost nam pokazuje da u dobrim uvjetima prometovanja, kada je stupanj zasićenja 0,67 i manji, svako daljnje poboljšanje je rasipanje (bacanje) korisnog zelenog vremena.
Da itekako treba biti oprezan s postocima i omjerima možda najbolje opisuje paradoks krumpira. Opisat ću ga vrlo kratko u primjeru cestovnog prometnog toka. Prometni tok čini 100 vozila, od kojih je 99 osobnih i 1 teretno. Učešće osobnih u prometnom toku je 99 %. Za koliko trebamo smanjiti broj osobnih da se njihovo učešće s 99 % smanji na 98 %? Brzo (i površno) razmišljanje obično kaže 2 – 3 osobna vozila. Tablica pokazuje iznenađujući (paradoksalan) odgovor. Ako smanjimo tok za par osobnih vozila nismo ni blizu 98 %. Ako smanjimo tok za 20 postižemo tek 98,75 %. Moramo prepoloviti prometni tok, a broj osobnih smanjiti sa 99 na 49, da bi njihovo učešće smanjili za 1 %
Netko će ponuditi jednostavniji (i logičniji) odgovor; izuzeti jedno osobno i dodati jedno teretno pa će prometnom toku biti dva teretna i 98 osobnih. Nije točan odgovor jer je u pitanju sadržan uvjet intervencije samo u broj osobnih vozila. I ovaj jednostavan teoretski primjer pokazuje da itekako treba biti oprezan u “stručnim procjenama”.
U prethodnoj temi pričao sam o utjecaju prometnih inženjera na prometnu politiku. Da, i ovakve stvari su naš posao, a najčešće je najjednostavnije stvari najteže objasniti. Još nisam vidio (doživio) da je netko samo riječima uspio uspješno objasniti opisani paradoks krumpira osobama koje nemaju tehničku (matematičku) naobrazbu.
Na kraju, svi moramo biti svjesni kada pričamo o promjenama u prometu, pričamo li o originalnom ili inverznom modelu, u kakvom su odnosu nezavisna i zavisna veličina, o kojem intervalu domene pričamo. Tek tada, eventualno, možemo pomisliti na razumno pojednostavljenje. Ako nismo sigurni, a najčešće nismo, onda je najbolje u ruke uzeti olovku i papir ili tipkovnicu te provjeriti.
