Korisnost primjene rođendanskog paradoksa u opisivanju i tumačenju prometnih procesa.

Već sam pisao o dva statistička paradoksa: paradoksu vremena čekanja i Simpsonovom paradoksu, te o prometnim paradoksima u ovoj temi i ovoj temi. Ovdje ću se pozabaviti rođendanskim paradoksom. Matematičari (statističari) ne vole riječ paradoks jer se ne radi o iskazivanju/dokazivanju proturječnosti već o čvrstoj matematičkoj činjenici, a rođendanski paradoks upravo to i jest. Priča je jednostavna: ako u prostoriji zateknemo 23 osobe (isključujemo blizance), vjerojatnost da su dvije osobe rođene istog dana veća je od 50 %. Apsolutno kontraintuitivno (zato se koristi izraz paradoks) jer godina ima 365 dana (isključujemo prijestupne) pa sve upućuje na nešto tipa (23/365) ili logičnije (2/365), a sve je to puno manje od 0,50. Toplo preporučujem pročitati jasno (pitko) objašnjenje na Wikipediji na hrvatskom jeziku.

Telegrafski ispričano, radi se o sljedećem. Ako pretpostavimo da sve 23 osobe imaju rođendane različitih datuma, onda prva osoba ima vjerojatnost (365/365) rođendana nekog dana tijekom godine, drugoj osobi preostaje (364/365) vjerojatnosti da neće imati rođendan istog dana kao prva osoba, treća osoba ima (363/365) vjerojatnosti da neće imati rođendan isti dan kao prethodne dvije osobe, a 23. osoba ima ((365-22)/365) = (343/365) vjerojatnost da neće imati rođendan kao prethodne 22 osobe. Po načelu uvjetne vjerojatnosti možemo izračunati vjerojatnost da nitko među 23 osobe nema zajednički rođendan, a to predstavlja umnožak individualnih vjerojatnosti:

Vjerojatnost da dvije osobe imaju isti dan rođendan je suprotna pa dobivamo ono što paradoks tvrdi – postoji vjerojatnost veća od 50 % da u grupi od 23 osobe (isključujemo blizance i prijestupnu godinu) dvije osobe imaju rođendan isti dan:

Malo matematike i vidimo da već kod 70 osoba postoji vjerojatnost 99,9 % da ćemo imati dvije osobe rođene istog dana, a za 75 osoba vjerojatnost je 99,97 %. Nakon toga treba nam još 291 osoba da bi “svladali” preostalih 0,03 % vjerojatnosti do sigurnog događaja (100 %).

Simpatična (nekome i dosadna) matematička činjenica, ali kako primijeniti rođendanski paradoks na probleme (izazove, dileme) prometa? Prije primjera, jedno pojednostavljenje kako bi dobili učinkoviti inženjerski alat. Na ranije spomenutoj stranici Wikipedije pokazana je dobra aproksimacija korištenjem eksponencijalne funkcije, gdje je n – broj osoba koje promatramo, a m – broj dana u godini:

a to je (vrlo) približno točno izračunatoj vjerojatnosti. Za 70 osoba dobivamo 0,998662. Uglavnom, za inženjerske potrebe aproksimacija eksponencijalnom funkcijom je i više nego dobra.

Budući da sam “nevjerni Toma” odlučio sam osobno ispitati stvar. Zašto vjerovati znanstvenom polju starom 5.000 godina, na kojem počiva moderna civilizacija!? Jednostavan problem, jednostavan Python kod koji će simulirati rođendanski paradoks. Odlučio sam se za 10.000 iteracija (simulacija) u jednom pokretanju programa, pokrećući program 10 puta. Dakle, ukupno 100.000 simulacija (slučajeva), više nego dovoljno. Naravno, rođendanski paradoks je potvrđen kako matematika (statistika) tvrdi. Ako se pogleda ukupno svih 100.000 iteracija za 23 osobe dobio sam vjerojatnost 50,60 % što podržava hipotezu rođendanskog paradoksa. Moje znanje Pythona je, blago rečeno, sramotno pa sam za 75 osoba proveo pet krugova jer se program (zaista) predugo “vrti”. Rezultat je opet isti; u ukupno 50.000 simulacija za 75 osoba “nevjerni Toma” je opet uvjeren. Možda se 100.000 iteracija čini pretjeranim pa sam napravio simulaciju za 100 iteracija u jednom pokretanju programa – ukupno 1.000 simulacija. Rezultati su isti – slični. Tko ne vjeruje, neka proba. 

U naslovu sam spomenuo švercanje u javnom prijevozu, krenimo s time. Malo kopanja po Internetu upućuje na skromne, ali znakovite podatke. Glede zagrebačkog ZET-a, našao sam podatak za predpandemijsku 2018. godinu o 3 % uhvaćenih putnika. U istom članku se spominje Beč sa 1,9 % “švercera”, Berlin je sličan Zagrebu, a za Pariz i Frankfurt se spominju veličine od 5 % i 6 %. U 2021 godini u Mađarskoj je napravljeno istraživanje koje je pokazalo da 6 % ljudi ne kupuje kartu, 22 % se sporadično šverca, 53 % ih uvijek kupuje kartu, a 19 % anketiranih nikada ne koristi javni prijevoz. U zagrebačkoj javnosti se često govori (neargumentirano?) o 30-tak i više posto ljudi koji ne plaćaju kartu.

Ako to prebacimo na jezik rođendanskog paradoksa dobivamo sljedeće. U Zagrebu novi tramvaj TMK 2200 ima kapacitet 202 putničkih mjesta (41 sjedećih i 161 stajaćih). Uz pretpostavku da se 3 % ljudi šverca, možemo zaključiti da će pri punom tramvaju 196 putnika imati voznu kartu. U takvim uvjetima već u tramvaju u kojem se nalazi 17 putnika postoji vjerojatnost 50 % da ćemo zateći putnika bez karte:

Ako se malo poigramo i računamo vjerojatnosti u koracima od po pet putnika, dobivamo grafički prikaz koji pokazuje da je u tramvaju sa 50 i više putnika “ulov švercera” zajamčen. Bolje rečeno, vjerojatnost da nema švercanja je vrlo mala (0,19 %). Kod 31 putnika vjerojatnost za “ulov švercera” je veća od 90 %. 

Javni (pri)gradski prijevoz u Hrvatskoj zasniva se većinom na autobusima, a kapaciteti se kreću od 30-tak (mini) pa sve do 160 putničkih mjesta (zglobni). Gradski solo autobus ima kapacitet 80 – 100 putničkih mjesta. Ako (“iz rukava”) pretpostavimo da hrvatska prosječna vozna jedinica javnog prijevoza ima 80 putničkih mjesta, za različite “razine švercanja” (od 3 % pa sve do pretjeranih 40 %) dobivamo sljedeći grafički prikaz. Razlike nisu velike i pokazuju da u vozilu kapaciteta 80 putničkih mjesta već kod 10-tak putnika postoji 50 % vjerojatnosti da se netko šverca, a kod 17 – 20 putnika u vozilu postoji 90 % šanse za nalaženje “sretnog dobitnika”.

Python program (malo prerađen) iskoristio sam za simulaciju u tramvaju TMK 2020. Uzeo sam 1.000 iteracija. Nisu svi zagrebački tramvaji TMK 2020, ima ih oko 50 % u voznom parku pa možemo pretpostaviti da ovih 1.000 simulacija kontrola vrijedi za dva radna dana. Rezultati pokazuju istinitost (primjenjivost) rođendanskog paradoksa, ako se usporedi s rezultatima prethodnog grafa za tramvaj TMK 2200 (jer sam isto uzeo pretpostavku švercanja od 3 %): kod 17 putnika već smo na “fifti-fifti” za švercanje, kod 31 putnika preko 90 % i kod 45 putnika preko 99 %.

Tko u Zagrebu manje-više koristi tramvaje ili (zglobne) autobuse često prisustvuje “ulovu švercera”, pri čemu svi budemo začuđeni koliko nas je malo u vozilu, a opet se našao “sretni dobitnik”. Tada si švercanje objašnjavamo različitim utjecajima: društvo, politika, standard, građanski neposluh, kućni (ne)odgoj, neinformiranost, ponekad (opravdana) zaboravljivost i dr., a to je puno manji dio istine. Najveći dio istine zašto je i kod malog broja putnika prisutno švercanje je jasna matematička (statistička) činjenica. Kako doskočiti švercanju, je li moguća potpuna eliminacija, to je priča za druge struke i druge blogove.

Drugi primjer koji ću brojčano opisati je korištenje parkirališta/garaža. Rođendanski paradoks će poslužiti za izračun vjerojatnosti da dva vozila žele koristiti isto parkirno mjesto. Hrvatske (loše) navike su svima poznate: želja za parkiranjem vozila kod kuće odmah pored kreveta, a odredišno parkirališno mjesto – odmah do radnog mjesta, ispred vrata dućana i/ili trgovačkog centra, pored ulaza na tribinu sportskog objekta i dr.. Nekima se često, a nekima rijetko ispuni želja za dobivanjem VIP parkirne karte, ali takve ovdje ne računamo; recimo da su oni prijestupna godina u rođendanskom paradoksu.

Pogledat ćemo kapitalce. U Zagrebu sam na brzinu pronašao sedam velikih trgovačkih (i inih) centara koji imaju velike kapacitete parkirališta/garaža: 900, 1.200, 1.300, 1.400, 2.100, 2.400 i 3.000. Pored Zagreba postoji i lokacija (tako tvrde) sa 10.000 parkirnih mjesta. Uglavnom, diljem Hrvatske postoje (trgovački) centri koji imaju od 1.600 do 2.700 (i više) parkirno-garažnih mjesta (PGM). Gledajući raspon od 900, 1.350 i 2.500 parkirnih mjesta dobiva se sljedeći grafički prikaz koji pokazuje da već kod prisustva (dolaska) 50-tak vozila u kraćem vremenskom intervalu na parkirališta do 1.500 PGM postoji velika vjerojatnost da će dva vozila željeti parkirati na istom parkirnom mjestu. Za mjesto s preko 2.000 PGM treba 75 – 100 vozila da dođe do problema. Dolazak količine prometa koji predstavlja 3 – 5 % kapaciteta parkirališta predmnijeva problem želje za korištenjem istog parkirnog mjesta, što znači određene poremećaje i smanjivanje protočnost (nekih dijelova) parkirališta. Sociologija, psihologija ili nešto treće nam govori zašto jesmo (ili nismo) takvi, a matematika nam kaže da nas treba vrlo malo da manifestiramo svoje osobne (ne)vrijednosti. U prometnim rješenjima parkirališta/garaža velikih kapaciteta krije se i jedan “paradoks u paradoksu”. Poželjno je i opravdano imati čim više priključaka (pristupa) za tako velike parkirne kapacitete, a veći broj priključaka omogućuje dolazak većeg broja vozila u kratkom vremenu što izravno potiče uvjete rođendanskog paradoksa.

Zaključno glede parkiranja, tko često automobilom pohodi ovakva mjesta sada zna zašto je uvijek njegovo omiljeno mjesto zauzeto na polupraznom parkiralištu ili zašto 2 – 3 vozila “… sve zablokiraju i stvore gužvu, a oko njih puno slobodnih parkirnih mjesta”.

Rođendanski paradoks nije neko veliko otkriće u inženjerstvu, poznat je i koristi se već dugo. Ova tema je jasno pokazala (podsjetila) zašto su mnogi sustavi javnog prijevoza u Europi (i svijetu) zatvoreni, zašto mnoga velika parkirališta (čiji vlasnici žele zadržati svakog namjernika) imaju uputne parkirne sustave. U ovdje opisanim primjerima poštivanje rezultata rođendanskog paradoksa donosi dvostruku korist: (1) financijsku za vlasnike sustava koji destimuliraju i onaj mali dio “švercera” (putem kontrolora ili zatvorenih sustava javnog prijevoza) i/ili upozoravaju namjernike gdje ima slobodnih parkirnih mjesta kako ne bi bespotrebno stvarali gužvu (nervozu) i u konačnici odustali od parkiranja/kupovine, (2) društvenu jer putnici bez stresa (gledanja svađe/natezanja kontrolora i švercera) koriste javni prijevoz i/ili bez nervoze, brzo i sigurno nalaze za sebe najbolje dostupno parkirno mjesto. U prometu pojava rođendanskog paradoksa uvijek upućuje na ukupnu korist/štetu, i financijsku (cjenovnu) i društvenu (vrijednosnu).

Načelo rođendanskog paradoksa može se u prometu koristiti u različitim situacijama, najčešće kao potpora odlučivanju do koje razine tolerirati (prihvatiti) neka pojavu. Općenito, u svim situacijama gdje se može očekivati previše nečega, rođendanski paradoks može dati odgovor na pitanje pri kojoj količini entiteta i s kojom vjerojatnošću može doći do (ne)željenih situacija. Promet je prepun primjera za njegovo korištenje: više prometnih entiteta na istoj (neželjenoj) lokaciji, planiranje rute na kojoj bi se mogao zateći (prevelik) broj drugih korisnika, vjerojatnost ulaska (povećanog) broj putnika na određenim stajalištima, dolazak dva ili više vozila javnog prijevoza na isto stajalište u kratkom vremenu, pojava pješaka i vozila na istom mjestu – sigurnost prometa. Iako postoje drugi (puno bolji) algoritmi, rođendanski paradoks može dati jako dobru (i brzu) početnu procjenu broja autonomnih vozila koji se mogu (u bliskoj budućnost) zateći na nekom dijelu ceste u isto (neželjeno) vrijeme. Sve više je električnih vozila pa rođendanski paradoks može (pametnim) investitorima pokazati gdje (ne) graditi elektro punionice. Kada ću posjedovati (koristiti) električni automobil zasigurno ću pomoću rođendanskog paradoksa, uz ponešto (točnih ili pretpostavljenih) ulaznih podataka, procijeniti gdje najbolje (najbrže) napuniti baterije vozila.